Propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicación

Ejemplo de propiedad asociativa de la multiplicación

Hay varias propiedades matemáticas que se utilizan en estadística y probabilidad; dos de ellas, la propiedad conmutativa y la asociativa, se asocian generalmente a la aritmética básica de los números enteros, racionales y reales, aunque también aparecen en matemáticas más avanzadas.

La propiedad conmutativa se refiere al orden de ciertas operaciones matemáticas. En el caso de una operación binaria, en la que intervienen sólo dos elementos, puede demostrarse mediante la ecuación a + b = b + a. La operación es conmutativa porque el orden de los elementos no afecta al resultado de la operación. La propiedad asociativa, en cambio, se refiere a la agrupación de elementos en una operación. Esto puede demostrarse mediante la ecuación (a + b) + c = a + (b + c). La agrupación de los elementos, indicada por los paréntesis, no afecta al resultado de la ecuación. Observa que cuando se utiliza la propiedad conmutativa, los elementos de una ecuación se reordenan. Cuando se utiliza la propiedad asociativa, los elementos simplemente se reagrupan.

Propiedad distributiva

En matemáticas, una operación binaria es conmutativa si al cambiar el orden de los operandos no cambia el resultado. Es una propiedad fundamental de muchas operaciones binarias, y muchas pruebas matemáticas dependen de ella. Más familiar como el nombre de la propiedad que dice algo como “3 + 4 = 4 + 3” o “2 × 5 = 5 × 2”, la propiedad también se puede utilizar en ámbitos más avanzados. El nombre es necesario porque hay operaciones, como la división y la resta, que no la tienen (por ejemplo, “3 – 5 ≠ 5 – 3”); tales operaciones no son conmutativas, por lo que se denominan operaciones no conmutativas. La idea de que las operaciones simples, como la multiplicación y la suma de números, son conmutativas se asumió implícitamente durante muchos años. Así, esta propiedad no se nombró hasta el siglo XIX, cuando las matemáticas empezaron a formalizarse[1][2] Existe una propiedad correspondiente para las relaciones binarias; se dice que una relación binaria es simétrica si la relación se aplica independientemente del orden de sus operandos; por ejemplo, la igualdad es simétrica ya que dos objetos matemáticos iguales son iguales independientemente de su orden[3].

Relación transitiva

Hay tres propiedades básicas de los números, y su libro de texto probablemente tendrá sólo una pequeña sección sobre estas propiedades, en algún lugar cerca del comienzo del curso, y luego probablemente no las verá nunca más (hasta el comienzo del próximo curso). Tengo la impresión de que cubrir estas propiedades es un remanente del fiasco de las “Nuevas Matemáticas” de la década de 1960. Aunque el tema empezará a ser relevante en el álgebra matricial y en el cálculo (y llegará a ser asombrosamente importante en las matemáticas avanzadas, un par de años después del cálculo), realmente no importan mucho ahora.

¿Por qué no? Porque todos los sistemas matemáticos con los que has trabajado han obedecido estas propiedades. Nunca te has enfrentado a un sistema en el que a×b no fuera de hecho igual a b×a, por ejemplo, o en el que (a×b)×c no fuera igual a×(b×c). Por eso las propiedades probablemente te parezcan algo inútiles. No te preocupes por su “relevancia” por ahora; sólo asegúrate de que puedes mantener las propiedades en orden para poder pasar el siguiente examen. En la lección siguiente se explica cómo sigo las propiedades.

Wikipedia

Una de las habilidades más importantes que los profesores pueden dotar a sus alumnos es la capacidad de aplicar un concepto matemático general a la resolución de problemas. Sin embargo, los alumnos suelen aprender las propiedades de las operaciones aritméticas sin apreciar su verdadera importancia y aplicación. Por eso Happy Numbers presta mucha atención a la orientación clara y paso a paso para aprender la base conceptual como reglas y propiedades y luego usarlas para resolver una variedad de problemas.

En este post, encontrarás una visión general de la pedagogía de Happy Numbers relacionada con las propiedades de la multiplicación. Verás cómo las tareas introductorias explican y ayudan a los alumnos a formular una propiedad. Explora los ejercicios que no sólo desarrollan la fluidez de los procedimientos, sino que también demuestran su poder y atracción a través de diversos modelos visuales y escenarios.

La propiedad conmutativa es la más sencilla de las propiedades de la multiplicación. Tiene un fundamento fácilmente comprensible y una aplicación inmediata impresionante: reduce el número de operaciones básicas de multiplicación independientes que hay que memorizar. Por ejemplo, gracias a esta propiedad, basta con saber que el producto 4 × 6 es igual a 24 para conocer también el producto 6 × 4.

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