Calculo de la inversa de una matriz

Retroalimentación

La inversa de una matriz desempeña las mismas funciones en el álgebra matricial que el recíproco de un número y la división en la aritmética ordinaria: Así como podemos resolver una ecuación simple como \(4 x = 8\) para \(x\) multiplicando ambos lados por el recíproco \[ 4 x = 8 \Rightarrow 4^{-1} 4 x = 4^{- 1} 8 \Rightarrow x = 8 / 4 = 2\] podemos resolver una ecuación matricial como \(\mathbf{A x} = \mathbf{b}\) para el vector \(\mathbf{x}\) multiplicando ambos lados por la inversa de la matriz \(\mathbf{A}\), \N-[\Nmathbf{A x} = \Nmathbf{b} \Flecha derecha \mathbf{A}^{-1} \mathbf{A x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} \Flecha derecha: x = A^1, bb, bb, bb, bb, bb, bb.

Inversa de una matriz 3×3

Este artículo fue escrito por Mario Banuelos, PhD. Mario Banuelos es profesor asistente de matemáticas en la Universidad Estatal de California, Fresno. Con más de ocho años de experiencia docente, Mario está especializado en biología matemática, optimización, modelos estadísticos para la evolución del genoma y ciencia de los datos. Mario es licenciado en Matemáticas por la Universidad Estatal de California, Fresno, y tiene un doctorado en Matemáticas Aplicadas por la Universidad de California, Merced. Mario ha impartido clases tanto en la escuela secundaria como en la universidad.

Las operaciones inversas se utilizan habitualmente en el álgebra para simplificar lo que de otro modo podría ser difícil. Por ejemplo, si un problema requiere que se divida por una fracción, se puede multiplicar más fácilmente por su recíproco. Esto es una operación inversa. Del mismo modo, como no existe un operador de división para las matrices, hay que multiplicar por la matriz inversa. Calcular la inversa de una matriz de 3×3 a mano es un trabajo tedioso, pero vale la pena revisarlo. También puedes encontrar la inversa utilizando una calculadora gráfica avanzada.

Inversa de una matriz de 3×3 pdf

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donde In denota la matriz identidad n por n y la multiplicación utilizada es la multiplicación matricial ordinaria. Si este es el caso, entonces la matriz B está determinada únicamente por A, y se llama la inversa (multiplicativa) de A, denotada por A-1.[1] La inversión de la matriz es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuación previa para una matriz invertible dada A.

Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular o degenerada. Una matriz cuadrada es singular si y sólo si su determinante es cero[2] Las matrices singulares son raras en el sentido de que si las entradas de una matriz cuadrada se seleccionan al azar en cualquier región finita de la recta numérica o del plano complejo, la probabilidad de que la matriz sea singular es 0, es decir, “casi nunca” será singular. Las matrices no cuadradas (matrices de m por n para las que m ≠ n) no tienen una inversa. Sin embargo, en algunos casos una matriz de este tipo puede tener una inversa izquierda o una inversa derecha. Si A es m por n y el rango de A es igual a n (n ≤ m), entonces A tiene una inversa izquierda, una matriz B de n por m tal que BA = In. Si A tiene rango m (m ≤ n), entonces tiene una inversa derecha, una matriz B de n por m tal que AB = Im.

Multiplicación de matrices…

Sabemos que la inversa multiplicativa de un número real [latex]a[/latex] es [latex]{a}^{-1}[/latex], y que [latex]a{a}^{-1}={a}^{-1}a=left(\frac{1}{a}\right)a=1[/latex]. Por ejemplo, [latex]{2}^{-1}=\frac{1}{2}[/latex] y [latex]\left(\frac{1}{2}\right)2=1[/latex]. La inversa multiplicativa de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz [latex]A[/latex] y su inversa [latex]{A}^{-1}[/latex] es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Identificamos las matrices identidad por [latex]{I}_{n}[/latex] donde [latex]n[/latex] representa la dimensión de la matriz. Las ecuaciones siguientes son las matrices de identidad para una matriz [latex]2 veces \text{}2[/latex] y una matriz [latex]3 veces \text{}3[/latex], respectivamente.

Una matriz que tiene una inversa multiplicativa se llama una matriz invertible. Sólo una matriz cuadrada puede tener una inversa multiplicativa, ya que la reversibilidad, [latex]A{A}^{-1}={A}^{-1}A=I[/latex], es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa, pero si [latex]A[/latex] es invertible, entonces [latex]{A}^{-1}[/latex] es única. Vamos a ver dos métodos para encontrar la inversa de una matriz [latex]2 veces \tex2[/latex] y un tercer método que se puede utilizar tanto en [latex]2 veces \tex2[/latex] como en [latex]3 veces \tex3[/latex] matrices.

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